Question

已知，橢圓C以雙曲線x2-

y2

3

=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以雙曲線的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)（M、N不是左右頂點(diǎn)），且以線段MN為直徑的圓過點(diǎn)A（2，0），求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

根據(jù)題意：雙曲線x2-

y2

3

=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），（2，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），（1，0）
∵橢圓C以雙曲線x2-

y2

3

=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以雙曲線的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)．
∴橢圓的頂點(diǎn)為（-2，0），（2，0），焦點(diǎn)坐標(biāo)為2，（-1，0），（1，0）
∴a=2，b=3
∴橢圓的方程是：

x2

4

+

y2

3

=1
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） 聯(lián)立y=kx+m，

x2

4

+

y2

3

=1
整理得：（3+4k²）x²+8mkx+4m²-12=0
△=64m²k²-4（4k²+3）（4m²-12）＞0
解得：m²＜4k²+3 ①
由韋達(dá)定理：x₁+x₂=-8mk/（3+4k²）．x₁x₂=（4m₂-12）/（3+4k²）
所以y₁y₂=k²x₁x₂+mk（x₁+x₂）+m²=（3m²-12k²）/（3+4k²）
因?yàn)橐訫V為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)A（2，0）
所以

AM

•

AN

=0
∴7m²+16mk+4k²=0
解得：m₁=-2k/7，m₂=-2k
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)m=-2k/7或m=-2k時(shí)，①式均成立
而當(dāng)m=-2k時(shí)，直線l：y=k（x-2），過右頂點(diǎn)，不合題意所以m=-2k/7，
∴直線l：y=k（x-2/7）．過定點(diǎn)（2/7，0）