Question

設(shè)無(wú)窮等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（Ⅰ）若首項(xiàng)a₁=，公差d=1．求滿(mǎn)足的正整數(shù)k；
（Ⅱ）求所有的無(wú)窮等差數(shù)列{a_n}，使得對(duì)于一切正整數(shù)k都有成立．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ），由得，又k是正整數(shù)，所以k=4．
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的公差為d，則在中分別取k=1，2得，由此能求出只有3個(gè)滿(mǎn)足條件的無(wú)窮等差數(shù)列．
解答：解：（Ⅰ）∵首項(xiàng)a₁=，公差d=1．
∴，
由得，
即，
∵k是正整數(shù)，∴k=4．…（5分）
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的公差為d，
則在中分別取k=1，和k=2得，
即
由①得a₁=0或a₁=1，
當(dāng)a₁=0時(shí)，代入②得d=0或d=6．若a₁=0，d=0則本題成立；
若a₁=0，d=6，則a_n=6（n-1），
由S₃=18，（S₃）²=324，S₉=216知S₉≠（S₃）²，故所得數(shù)列不符合題意；
當(dāng)a₁=1時(shí)，代入②得4+6d=（2+d）²，
解得d=0或d=2．
若a=1，d=0則a_n=1，S_n=n從而成立；
若a₁=1，d=2，則a_n=2n-1，S_n=n²，
從而成立．
綜上所述，只有3個(gè)滿(mǎn)足條件的無(wú)窮等差數(shù)列：
①a_n=0； ②a_n=1；③a_n=2n-1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，具體涉及到等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化