Question

某地位于甲、乙兩條河流的交匯處，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料預(yù)測(cè)，今年汛期甲河流發(fā)生洪水的概率為0.25，乙河流發(fā)生洪水的概率為0.18(假設(shè)兩河流發(fā)生洪水與否互不影響)．現(xiàn)有一臺(tái)大型設(shè)備正在該地工作，為了保護(hù)設(shè)備，施工部門提出以下三種方案：
方案1：運(yùn)走設(shè)備，此時(shí)需花費(fèi)4000元；
方案2：建一保護(hù)圍墻，需花費(fèi)1000元，但圍墻只能抵御一個(gè)河流發(fā)生的洪水，當(dāng)兩河流同時(shí)發(fā)生洪水時(shí)，設(shè)備仍將受損，損失約56000元；
方案3：不采取措施，此時(shí)，當(dāng)兩河流都發(fā)生洪水時(shí)損失達(dá)60000元，只有一條河流發(fā)生洪水時(shí)，損失為10000元．
(1)試求方案3中損失費(fèi)X(隨機(jī)變量)的分布列；
(2)試比較哪一種方案好．

Answer 1

(1) X的分布列為

X	10000	60000	0
P	0.34	0.045	0.615

(2) 方案2最好，方案1次之，方案3最差

解：(1)在方案3中，記“甲河流發(fā)生洪水”為事件A，“乙河流發(fā)生洪水”為事件B，則P(A)＝0.25，P(B＝0.18)，所以有且只有一條河流發(fā)生洪水的概率為P(A·＋·B)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＝0.34，兩河流同時(shí)發(fā)生洪水的概率為P(A·B)＝0.045，都不發(fā)生洪水的概率為P(·)＝0.75×0.82＝0.615，設(shè)損失費(fèi)為隨機(jī)變量X，則X的分布列為

X	10000	60000	0
P	0.34	0.045	0.615

(2)對(duì)方案1來(lái)說(shuō)，花費(fèi)4000元；對(duì)方案2來(lái)說(shuō)，建圍墻需花費(fèi)1000元，它只能抵御一條河流的洪水，但當(dāng)兩河流都發(fā)生洪水時(shí)，損失約56000元，而兩河流同時(shí)發(fā)生洪水的概率為P＝0.25×0.18＝0.045.所以，該方案中可能的花費(fèi)為1000＋56000×0.045＝3520(元)．
對(duì)于方案3：損失費(fèi)的數(shù)學(xué)期望為
E(X)＝10000×0.34＋60000×0.045＝6100(元)，
比較可知，方案2最好，方案1次之，方案3最差.