Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長(zhǎng)度，直線的極坐標(biāo)方程為.

（I）當(dāng)時(shí)，判斷直線與的關(guān)系；

（II）當(dāng)上有且只有一點(diǎn)到直線的距離等于時(shí)，求上到直線距離為的點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（I）當(dāng)時(shí)，直線與相交；（II）和.

【解析】

試題分析：（I）當(dāng)時(shí)，直線的極坐標(biāo)方程為，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式得，圓的直角坐標(biāo)方程為，圓心到直線的距離所以直線與圓相交；（II）分析可知，若圓上只有一點(diǎn)到直線的距離為，則直線與圓位置關(guān)系為相離，且圓心到直線距離為，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為過(guò)圓心且與平行的直線與圓的交點(diǎn)解方程組即可求出點(diǎn)的坐標(biāo).

試題解析：（I）圓的普通方程為：， ……………………………1分

直線的直角坐標(biāo)方程為：， ……………………………2分

圓心（1,1）到直線的距離為， ……………………………4分

所以直線與相交. …………………………… 5分

（II）上有且只有一點(diǎn)到直線的距離等于，即圓心到直線的距離為， ………… 7分

過(guò)圓心與平行的直線方程式為：， ……………………………8分

聯(lián)立方程組解得 ……………………………9分

故所求點(diǎn)為（2,0）和（0,2） ……………………………10分