Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），且經(jīng)過點P(1，

3

2

)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過F₁的直線l與橢圓C交于A、B兩點，問在橢圓C上是否存在一點M，使四邊形AMBF₂為平行四邊形，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），且經(jīng)過點P(1，

3

2

)．可得

c=1 1 a2 + 9 4b2 =1 a2=b2+c2

，解得即可；
（II）假設(shè)存在符合條件的點M（x₀，y₀），設(shè)直線l的方程為x=my-1，與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)關(guān)系，利用平行四邊形的對角線相互垂直的性質(zhì)可得點M的坐標，代入橢圓方程若有解即可．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），且經(jīng)過點P(1，

3

2

)．
∴

c=1 1 a2 + 9 4b2 =1 a2=b2+c2

，解得a=2，b=

3

，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）假設(shè)存在符合條件的點M（x₀，y₀），
設(shè)直線l的方程為x=my-1，
由

x=my-1 3x2+4y2=12

得：（3m²+4）y²-6my-9=0，
△=36m²+36（3m²+4）＞0，
∴y1+y2=

6m

3m2+4

，
∴AB的中點為(-

4

3m2+4

，

3m

3m2+4

)，
∵四邊形AMBF₂為平行四邊形，∴AB與MF₂的中點重合，即：

x0+1 2 =- 4 3m2+4 y0 2 = 3m 3m2+4

∴M(-

3m2+12

3m2+4

，

6m

3m2+4

)，
把點M坐標代入橢圓C的方程得：27m⁴-24m²-80=0
解得m2=

20

9

，
∴存在符合條件的直線l的方程為：y=±

3 5

10

(x+1)．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、平行四邊形的性質(zhì)、中點坐標公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．