Question

定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有 成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的一個上界．已知函數(shù)，．
（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求實數(shù)的值；
（2）在（1）的條件下，求函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成的集合；
（3）若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）;（2）；（3）.

試題分析：(1)因為為奇函數(shù)，所以利用,求出的值；(2) 在（1）的條件下，證明的單調(diào)性，在恒成立，即,根據(jù)單調(diào)性，可以求出其最大值；(3)若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，則,將函數(shù)代入，反解,,利用函數(shù)的單調(diào)性求出他們的最大，和最小值，就是的范圍.
試題解析：解：（1）因為函數(shù)為奇函數(shù)，
所以，即，
即，得，而當時不合題意，故．      4分
（2）由（1）得：，
下面證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
證明略．                                         6分
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在區(qū)間上的值域為，
所以，故函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成集合為．  8分
（3）由題意知，在上恒成立．
，．
在上恒成立．
                     10分
設(shè)，，，由得,
設(shè)，，
,
所以在上遞減，在上遞增，                   12分
在上的最大值為，在上的最小值為 ．
所以實數(shù)的取值范圍為．                                    14分