Question

在等腰梯形PDCB（圖1）中，DC∥PB，PB=3DC=3，PD=，DA⊥PB，垂足為A，將△PAD沿AD折起，使得PA⊥AB，得到四棱錐P-ABCD（圖2）．在圖2中完成下面問題：
（1）證明：平面PAD⊥平面PCD；
（2）點M在棱PB上，平面AMC把四棱錐P-ABCD分成兩個幾何體（如圖2），當這兩個幾何體的體積之比V_PM-ACDV_M-ABC=5：4時，求的值；
（3）在（2）的條件下，證明：PD‖平面AMC．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圖1中DA⊥PB，可得折疊后DA⊥AB，DA⊥PA，進而DC⊥PA，DC⊥DA，由線面垂直的判定定理得到DC⊥平面PAD，再由面面垂直的判定定理得到平面PAD⊥平面PCD；
（2）設MN=h，則可得V_M-ABC=，V_P-ABCD=，則V_PM-ABCD=V_P-ABCD-V_M-ABC=-，結合V_PM-ABCD：V_M-ABC=5：4，可求出h值，進而得到的值；
（3）在梯形ABCD中，連接AC、BD交于點O，連接OM．易知△AOB∽△DOC，所以在平面PBD中，有PD∥MO，進而由線面平行的判定定理得到答案．
解答：證明：（1）因為在圖a的等腰梯形PDCB中，DA⊥PB，
所以在四棱錐P-ABCD中，DA⊥AB，DA⊥PA．…（1分）
又PA⊥AB，且DC∥AB，所以DC⊥PA，DC⊥DA，…（2分）
而DA?平面PAD，PA?平面PAD，PA∩DA=A，
所以DC⊥平面PAD．…（3分）
因為DC?平面PCD，
所以平面PAD⊥平面PCD．…（4分）
解：（2）因為DA⊥PA，且PA⊥AB
所以PA⊥平面ABCD，
又PA?平面PAB，
所以平面PAB⊥平面ABC．
如圖，過M作MN⊥AB，垂足為N，
則MN⊥平面ABCD．…（5分）
在等腰梯形PDCB中，DC∥PB，
PB=3DC=3，PD=，DA⊥PB，
所以PA=1，AB=2，AD==1．…（6分）
設MN=h，則V_M-ABC=S_△ABC•h=．…（7分）
V_P-ABCD=S_梯形ABCD•PA=
V_PM-ABCD=V_P-ABCD-V_M-ABC=-．…（8分）
因為V_PM-ABCD：V_M-ABC=5：4，
所以（-）：=5：4，解得h=．…（9分）
在△PAB中，==，所以BM=BP，MP=BP．
所以PM：MB=1：2．…（10分）
（3）在梯形ABCD中，連接AC、BD交于點O，連接OM．
易知△AOB∽△DOC，所以==．…（11分）
又PM：MB=1：2，所以=，…（12分）
所以在平面PBD中，有PD∥MO．…（13分）
又因為PD?平面AMC，MO?平面AMC，
所以PD∥平面AMC．…（14分）
點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，棱錐的體積，熟練掌握空間線面關系的判定定理，性質定理及幾何特征是解答本題的關鍵．