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        1. 在等腰梯形PDCB(圖1)中,DC∥PB,PB=3DC=3,PD=,DA⊥PB,垂足為A,將△PAD沿AD折起,使得PA⊥AB,得到四棱錐P-ABCD(圖2).在圖2中完成下面問題:
          (1)證明:平面PAD⊥平面PCD;
          (2)點(diǎn)M在棱PB上,平面AMC把四棱錐P-ABCD分成兩個(gè)幾何體(如圖2),當(dāng)這兩個(gè)幾何體的體積之比VPM-ACDVM-ABC=5:4時(shí),求的值;
          (3)在(2)的條件下,證明:PD‖平面AMC.

          【答案】分析:(1)由圖1中DA⊥PB,可得折疊后DA⊥AB,DA⊥PA,進(jìn)而DC⊥PA,DC⊥DA,由線面垂直的判定定理得到DC⊥平面PAD,再由面面垂直的判定定理得到平面PAD⊥平面PCD;
          (2)設(shè)MN=h,則可得VM-ABC=,VP-ABCD=,則VPM-ABCD=VP-ABCD-VM-ABC=-,結(jié)合VPM-ABCD:VM-ABC=5:4,可求出h值,進(jìn)而得到的值;
          (3)在梯形ABCD中,連接AC、BD交于點(diǎn)O,連接OM.易知△AOB∽△DOC,所以在平面PBD中,有PD∥MO,進(jìn)而由線面平行的判定定理得到答案.
          解答:證明:(1)因?yàn)樵趫Da的等腰梯形PDCB中,DA⊥PB,
          所以在四棱錐P-ABCD中,DA⊥AB,DA⊥PA.…(1分)
          又PA⊥AB,且DC∥AB,所以DC⊥PA,DC⊥DA,…(2分)
          而DA?平面PAD,PA?平面PAD,PA∩DA=A,
          所以DC⊥平面PAD.…(3分)
          因?yàn)镈C?平面PCD,
          所以平面PAD⊥平面PCD.…(4分)
          解:(2)因?yàn)镈A⊥PA,且PA⊥AB
          所以PA⊥平面ABCD,
          又PA?平面PAB,
          所以平面PAB⊥平面ABC.
          如圖,過M作MN⊥AB,垂足為N,
          則MN⊥平面ABCD.…(5分)
          在等腰梯形PDCB中,DC∥PB,
          PB=3DC=3,PD=,DA⊥PB,
          所以PA=1,AB=2,AD==1.…(6分)
          設(shè)MN=h,則VM-ABC=S△ABC•h=.…(7分)
          VP-ABCD=S梯形ABCD•PA=
          VPM-ABCD=VP-ABCD-VM-ABC=-.…(8分)
          因?yàn)閂PM-ABCD:VM-ABC=5:4,
          所以(-):=5:4,解得h=.…(9分)
          在△PAB中,==,所以BM=BP,MP=BP.
          所以PM:MB=1:2.…(10分)
          (3)在梯形ABCD中,連接AC、BD交于點(diǎn)O,連接OM.
          易知△AOB∽△DOC,所以==.…(11分)
          又PM:MB=1:2,所以=,…(12分)
          所以在平面PBD中,有PD∥MO.…(13分)
          又因?yàn)镻D?平面AMC,MO?平面AMC,
          所以PD∥平面AMC.…(14分)
          點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定,棱錐的體積,熟練掌握空間線面關(guān)系的判定定理,性質(zhì)定理及幾何特征是解答本題的關(guān)鍵.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,在等腰梯形PDCB中,PB=3,DC=1,PD=BC=
          2
          ,A為PB邊上一點(diǎn),且PA=1,將△PAD沿AD折起,使平面PAD⊥平面ABCD.
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          (Ⅰ)求證:CD⊥平面PAD;
          (Ⅱ)若M是側(cè)棱PB中點(diǎn),截面AMC把幾何體分成的兩部分,求這兩部分的體積之比.

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          如圖,在等腰梯形PDCB中,PB=3,DC=1,PD=BC=
          2
          ,A為PB邊上一點(diǎn),且PA=1,將△PAD沿AD折起,使平面PAD⊥平面ABCD.
          (Ⅰ)求證:CD⊥平面PAD;
          (Ⅱ)若M為PB的中點(diǎn),試求異面直線AN和BC所成的角的余弦值.
          (Ⅲ)試問:在側(cè)棱PB上是否存在一點(diǎn)Q,使截面AQC把幾何體分成的兩部分的體積之比VPDCQA:VQACB=7:2?若存在,請(qǐng)求PQ的長;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,在等腰梯形PDCB中,PB=3,DC=1,PD=BC=
          2
          ,A為PB邊上一點(diǎn),且PA=1,將△PAD沿AD折起,使平面PAD⊥平面ABCD.
          精英家教網(wǎng)
          (1)求證:平面PAD⊥平面PCD;
          (2)試在PB上找一點(diǎn)M,使截面AMC把幾何體分成兩部分,且VM-ACB=
          1
          3
          VP-ABCD
          ;
          (3)在(2)的條件下,判斷AM是否平行于平面PCD.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,在等腰梯形PDCB中,PB=3,DC=1,PD=BC=
          2
          ,AD⊥PB,將△PAD沿AD折起,使平面PAD⊥平面ABCD.
          精英家教網(wǎng)
          (1)求證:PA⊥平面ABCD;
          (2)求二面角P-DC-B的大小;
          (3)若M是側(cè)棱PB中點(diǎn),求直線CM與平面PAB所成角的正弦值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•廣州三模)如圖,在等腰梯形PDCB中,PB∥CD,PB=3,DC=1,PD=BC=
          2
          ,A為PB邊上一點(diǎn),且PA=1,將△PAD沿AD折起,使平面PAD⊥平面ABCD.
          (1)求證:平面PAD⊥平面PCD.
          (2)在線段PB上是否存在一點(diǎn)M,使截面AMC把幾何體分成的兩部分的體積之比為VPDCMA:V M-ACB=2:1,若存在,確定點(diǎn)M的位置;若不存在,說明理由.
          (3)在(2)的條件下,判斷AM是否平行于平面PCD.

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