Question

一個(gè)公差不為0的等差數(shù)列{a_n}共有100項(xiàng)，首項(xiàng)為5，其第1、4、16項(xiàng)分別為正項(xiàng)等比數(shù)列{b_n}的第1、3、5項(xiàng).

    （1）求{a_n}各項(xiàng)的和S；

    （2）記{b_n}的末項(xiàng)不大于，求{b_n}項(xiàng)數(shù)的最值N；

    （3）記{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，{b_n}前n項(xiàng)和為T(mén)_n，問(wèn)是否存在自然數(shù)m，使S_m=T_n.

   

Answer 1

解：設(shè){a₁}的公差為d，a₁=5，a₄=5+3d，a₁₆=5+15d分別為{b_n}的第1、3、5項(xiàng)，

    ∴(5+3d)²=5(5+15d)，即d=5或d=0(舍).

    （1）S=100×5+×5=25250.

    （2）∵b₁=a₁=5，b₃=a₄=20，

    ∴q²==4.

    ∴q=2或q=-2(舍)，b_n=5·2^n-1．

    令5·2^n-1≤，

    ∴2ⁿ≤5050.又2¹²＜5050＜2¹³，即n＜13，且2¹²=4096＜5050，

    ∴n的最大值N=12.

    （3）設(shè)有S_m=T_N即5m+×5=5(2¹²-1)，

    整理得m²+m-8190=0.

    ∴m=90＜100或m=-91（舍），即存在m=90使S₉₀=T₁₂.