Question

（本小題滿分13分）

已知函數(shù)，．

（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求的值；

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）當(dāng)，且時(shí)，證明：．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由，得．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減（Ⅲ）見解析

解析:

（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?img width=67 height=26 id="_x268A6113NmOa_i1309" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/28/310228.gif">，

．…………………………………………………………2分

又曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，

所以，

即．………………………………………………………………………4分

（Ⅱ）由于．

當(dāng)時(shí)，對(duì)于，有在定義域上恒成立，

即在上是增函數(shù)．

當(dāng)時(shí)，由，得．

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．……………………………8分

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，   ．

令．

．………………………………10分

當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減．

又，所以在恒為負(fù)．

所以當(dāng)時(shí)，．

即．

故當(dāng)，且時(shí)，成立．………………………………13分