Question

（本題滿分15分）已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若，且對任意恒成立，求的最大值；
（3）當(dāng)時(shí)，證明．

Answer 1

1）解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823182605675544.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以，
函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程；…………3分
（2）解：由（1）知，，所以對任意恒成立，即對任意恒成立．…………4分
令，則，……………………4分
令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．………………………5分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823182606143888.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以方程在上存在唯一實(shí)根，且滿足．
當(dāng)，即，當(dāng)，即，…6分
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以．…………7分
所以．故整數(shù)的最大值是3．………………………8分
（3）由（2）知，是上的增函數(shù)，……………9分
所以當(dāng)時(shí)，．…………………10分
即．
整理，得．………………11分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823182606517358.gif" style="vertical-align:middle;" />， 所以．…………………12分
即．即．………………13分
所以．………………………14分

略