Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PD⊥平面ABCD，PA⊥CD，且；
（1）求證：CD⊥AD；
（2）求二面角A-PB-C的正弦值；
（3）若E，F(xiàn)，M為AB，CD，PB的中點，在線段EF上是否存在點N，使得MN⊥平面PAB；若存在，求出點N的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由PD⊥平面ABCD，知PD⊥CD，由PA⊥CD，能夠證明CD⊥AD．
（2）以DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-PB-C的正弦值．
（3）假設存在．由E，F(xiàn)，M為AB，CD，PB的中點，設，利用向量法能求出．
解答：解：（1）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥CD，
又∵PA⊥CD，∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AD．
（2）如圖，以DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，
∵ABCD是平行四邊形，CD⊥AD，，
則D（0，0，0），A（3，0，0），B（3，2，0），C（0，2，0），P（0，0，3），
=（0，2，0），=（3，2，-3），=（3，0，0），
設平面APB的法向量=（x₁，y₁，z₁），則，=0，
∴，解得=（1，0，），
設平面CPB的法向量=（x₂，y₂，z₂），則，，
∴，解得=（0，3，2），
設二面角A-PB-C的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜＞|=||=，
∴二面角A-PB-C的正弦值為：=．
（3）假設存在．
∵E，F(xiàn)，M為AB，CD，PB的中點，
∴E（3，，0），F(xiàn)（0，，0），=（3，0，0），
設，M（），=（），，
∵MN⊥平面PAB，
∴，
∴．
故在線段EF上存在點N，F(xiàn)N=FE，使得MN⊥平面PAB．
點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，考查點的位置的探索．解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法的合理運用．