Question

已知曲線C滿足方程=|1+ax|(a＞0為常數(shù)).

(1)判斷曲線的形狀;

(2)若直線l：y=x+a交曲線C于點(diǎn)P、Q，線段PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-，試問在曲線C上是否存在不同的兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線l對稱?

 

Answer 1

解：(1)∵=|1+ax|,

∴(x+a)²+y²=(1+ax)².

∴(1-a²)x²+y²=1-a².

∴當(dāng)0＜a＜1時(shí)，表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；

當(dāng)a=1時(shí)，表示x軸所在的直線；

當(dāng)a＞1時(shí)，表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.

(2)設(shè)P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，聯(lián)立方程：得(2-a²)x²+2ax+2a²-1=0.

設(shè)(2-a²)x²+2ax+2a²-1=0的兩根為x₁，x₂，

∴                                                   

由題意=-，a＞0，取a=3，則曲線C：x²-=1..l:y=x+3

假設(shè)曲線C上存在A（x_3，y₃）B(x₄,y₄)關(guān)于l對稱，設(shè)AB的中點(diǎn)M（x₀,y₀）,由點(diǎn)差法，可得AB的斜率k_AB=,又y₀=x₀+3, ∴M().∴AB:y+, 代入曲線C：x^2-有△＞0，∴曲線C上存在不同的兩點(diǎn)A、B關(guān)于直線l對稱。