Question

【題目】已知橢圓：（）的左右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，且的面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與橢圓交于，兩點(diǎn)，若直線與直線的斜率之積為，證明：直線過(guò)頂點(diǎn).

Answer 1

【答案】(1) .

(2)見(jiàn)解析.

【解析】分析：第一問(wèn)利用三角形的面積求得所滿(mǎn)足的關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上，以及橢圓中的關(guān)系，求得其值，得到橢圓的方程，第二問(wèn)涉及直線與橢圓相交，需要設(shè)出直線的方程，先去驗(yàn)證直線的斜率是存在的，設(shè)出方程之后，與橢圓方程聯(lián)立，消元，利用韋達(dá)定理得到其兩根和與兩根積，利用題中所給的斜率的關(guān)系，得出等量關(guān)系式，從而求得直線過(guò)定點(diǎn).

詳解：（1）由題意可設(shè)橢圓的半焦距為，

由題意得：

所以

所以橢圓的方程為：

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可設(shè)其方程為且），

不妨設(shè)，且

故把代換化簡(jiǎn)得：，不合題意

設(shè)直線的方程為，，

聯(lián)立

，

由，是上方程的兩個(gè)根可知：

由，

化簡(jiǎn)整理得：

即

故或（舍去，因?yàn)榇藭r(shí)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)）

把代入得

所以直線方程為（），恒過(guò)點(diǎn)