Question

【題目】如圖，在棱臺(tái)中， 與分別是棱長(zhǎng)為1與2的正三角形，平面平面，四邊形為直角梯形， ， ， 為中點(diǎn)， （， ）.

（1）設(shè)中點(diǎn)為， ，求證： 平面；

（2）若到平面的距離為，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】試題分析：（1）延長(zhǎng)三棱臺(tái)的三條側(cè)棱，設(shè)交點(diǎn)為， 時(shí)為的中點(diǎn)，設(shè)中點(diǎn)為，連梯形中，中位線，根據(jù)線面平行的判定定理可得平面；同理可證平面，然后再根據(jù)面面平行的判定定理可得，平面平面，進(jìn)而可證命題成立；（2）設(shè)中點(diǎn)為，連，在中作且交于點(diǎn)，由面面垂直的性質(zhì)定理，可得，又，所以平面，所以為到平面的距離，

且為直線與平面所成角；再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可得可得， 中為的中點(diǎn) ，由此即可求出線面角的正弦值.

試題解析：

（1）延長(zhǎng)三棱臺(tái)的三條側(cè)棱，設(shè)交點(diǎn)為

時(shí)為的中點(diǎn)，

設(shè)中點(diǎn)為，連

梯形中，中位線，又平面， 平面

所以平面；

中，中位線，又平面， 平面

所以平面

又且平面， 平面

所以平面平面

所以平面

（2）設(shè)中點(diǎn)為，連，在中作且交于點(diǎn)，

又，所以平面，

所以為到平面的距離，

且為直線與平面所成角

平面，所以， 中

為的中點(diǎn)

直線與平面所成角的正弦值為.