Question

如圖，以正六邊形的一條對角線的兩個端點F₁、F₂為焦點，過其余四個頂點作橢圓，則該橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)正六邊形的邊長為1，則由題意可得2c=2．以線段F₁F₂所在的直線為x軸，以線段F₁F₂的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系．則由正六邊形的性質(zhì)可得∠AOF₁=120°，AF₂=OF₁=1=AO．△AOF₁中，由余弦定理可得AF₁ 的值．再由橢圓的定義求得2a=AF₁+AF₂的值，由此求得離心率e=

2c

2a

的值

解答：解：設(shè)正六邊形的邊長為1，則由題意可得2c=F₁F₂=2，c=1．
以線段F₁F₂所在的直線為x軸，以線段F₁F₂的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示：
作AB垂直于x軸，B為垂足，則由正六邊形的性質(zhì)可得∠AOF₁=120°，AF₂=OF₁=1=AO．
△AOF₁中，由余弦定理可得 AF12=AO²+OF12-2AO•OF₁•cos∠AOF₁=1+1-2×cos120°=3，
∴AF₁=

3

．
再由橢圓的定義可得 2a=AF₁+AF₂=

3

+1，故離心率e=

2c

2a

=

2

3 +1

=

3

-1，
故答案為

3

-1．

點評：本題主要考查橢圓的定義和簡單性質(zhì)的應(yīng)用，正六邊形的性質(zhì)，屬于中檔題．