Question

【題目】已知函數(shù)，函數(shù)，函數(shù)

（1）當(dāng)函數(shù)在時(shí)為減函數(shù)，求a的范圍；

（2）若a=e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；

①求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；

②證明：

Answer 1

【答案】（1）.（2）①單調(diào)増區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為；②證明見解析.

【解析】

試題（1）題意轉(zhuǎn)化為在上恒成立；（2），①，則，現(xiàn)在要討論（或）的解，關(guān)鍵是函數(shù)，同樣我們用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究，，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以對(duì)任意，，從而知當(dāng)時(shí)，當(dāng)，；②這一題比較特殊，要證不等式，即證，即證，考慮到在①中已證明的最小值為1，那么下面我們?nèi)绻�能求�?/span>的最大值不大于1（最多等于1），命題即證.這同樣利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)可證明.

試題解析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)為減函數(shù)，所以.

.

因?yàn)?/span>,所以,即.

①當(dāng)a=e時(shí)，

所以=

記，則，當(dāng)

當(dāng)所以>0.

所以在,在；

即g(x)的單調(diào)増區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為

②證明：由①得欲證，

只需證

即證.

記，則

當(dāng)，，

當(dāng)，．即

由①得.所以.