Question

（2013•福建）橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，焦距為2c，若直線y=

3

(x+c)與橢圓Γ的一個交點滿足∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，則該橢圓的離心率等于

3

-1

．

Answer 1

分析：由直線y=

3

(x+c)可知斜率為

3

，可得直線的傾斜角α=60°．又直線與橢圓Γ的一個交點M滿足∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，可得∠MF2F1=30°，進(jìn)而∠F1MF2=90°．
設(shè)|MF₂|=m，|MF₁|=n，利用勾股定理、橢圓的定義及其邊角關(guān)系可得

m2+n2=(2c)2 m+n=2a m= 3 n

，解出a，c即可．

解答：解：如圖所示，
由直線y=

3

(x+c)可知傾斜角α與斜率

3

有關(guān)系

3

=tanα，∴α=60°．
又橢圓Γ的一個交點滿足∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，∴∠MF2F1=30°，∴∠F1MF2=90°．
設(shè)|MF₂|=m，|MF₁|=n，則

m2+n2=(2c)2 m+n=2a m= 3 n

，解得

c

a

=

3

-1．
∴該橢圓的離心率e=

3

-1．
故答案為

3

-1．

點評：本題綜合考查了直線的斜率與傾斜角的關(guān)系、勾股定理、含30°角的直角三角形的邊角關(guān)系、橢圓的定義、離心率等基礎(chǔ)知識，考查了推理能力和計算能力即數(shù)形結(jié)合的思想方法．