Question

（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分5分，第3小題滿分9分．

已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d（d 0）．在之間和b,c之間共插入個(gè)實(shí)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，其公比為q．

（1）求證：；

（2）若，求的值；

（3）若插入的n個(gè)數(shù)中，有s個(gè)位于a,b之間，t個(gè)位于b,c之間，且都為奇數(shù)，試比較s與t的大小，并求插入的n個(gè)數(shù)的乘積（用表示）.

Answer 1

解：（1）由題意知，，         

又，可得，          ………………………………2分

即，故，又是正數(shù)，故．………………………………4分

（2）由是首項(xiàng)為1、公差為的等差數(shù)列，故，

若插入的這一個(gè)數(shù)位于之間，則，，

消去可得，即，其正根為．………7分

若插入的這一個(gè)數(shù)位于之間，則，，

消去可得，即，此方程無正根．

故所求公差．　　　　　　　　  　………………………………………9分

（3）由題意得，，又，

故，可得，又，

故，即．

又，故有，即．　  　………………………………………12分

設(shè)個(gè)數(shù)所構(gòu)成的等比數(shù)列為，則，

由…，，可得

……，  ……………………14分

又，，

由都為奇數(shù)，則q既可為正數(shù)，也可為負(fù)數(shù)，

①若q為正數(shù)，則…，插入n個(gè)數(shù)的乘積為；

②若q為負(fù)數(shù)，…中共有個(gè)負(fù)數(shù)，

故…，所插入的數(shù)的乘積為．

所以當(dāng)N*)時(shí)，所插入n個(gè)數(shù)的積為；

當(dāng)N*）時(shí)，所插入n個(gè)數(shù)的積為．  …………………18分

（另法：由又，，

由都為奇數(shù)，可知是偶數(shù)，q既可為正數(shù)也可為負(fù)數(shù)．

……　        

①若q為正數(shù)，則…，

故插入n個(gè)數(shù)的乘積為；                        …………………15分

②若q為負(fù)數(shù)，由是偶數(shù)，可知的奇偶性與的奇偶性相同，

可得…．

所以當(dāng)N*)時(shí)，所插入n個(gè)數(shù)的積為；

當(dāng)N*）時(shí)，所插入n個(gè)數(shù)的積為． 　…………………18分）