Question

已知如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=

π

2

，AB=BC=2AD=2，E、F分別為線段AB、CD的動(dòng)點(diǎn)，且EF∥BC，G是BC的中點(diǎn)，沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如圖2）．
（1）當(dāng)AE為何值時(shí)，BD⊥EG；
（2）在（1）的條件下，求BD與平面ABF所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）沿EF將梯形ABCD翻折后，建立空間坐標(biāo)系，設(shè)EA=t，t∈（0，2），求出

BD

和

EG

的坐標(biāo)，由BD⊥EG，得

BD

•

EG

=0，解方程求得t的值．
（2）在（1）的條件下，求出

BA

、

BF

的坐標(biāo)，設(shè)出平面ABF的法向量為

n

的坐標(biāo)，由

n

•

BA

=0，

n

•

BF

=0，解得

n

的坐標(biāo)，設(shè)BD與平面ABF所成角為θ，則由sinθ=cos＜

BD

，

n

＞
=

BD • n

| BD | • | n |

，運(yùn)算求得結(jié)果，即可得到θ的值．

解答：解：（1）沿EF將梯形ABCD翻折后，以EF所在直線為x軸，以EB所在直線為y軸，以EA所在的直線為z軸，建立空間坐標(biāo)系，設(shè)EA=t，t∈（0，2）．
則A（0，0，t ），B（2-t，0，0 ），D（0，1，t），G（2-t，1，0）．
∴

BD

=（t-2，1，t），

EG

=（2-t，1，0）．
∵BD⊥EG，
∴

BD

•

EG

=0，即-（t-2）²+1=0，解得 t=1 或t=3（舍去）．
故EA=1．
（2）在（1）的條件下，A（0，0，1 ），B（ 1，0，0 ），F(xiàn)（0，

3

2

，0 ），D（0，1，1 ），

BD

=（-1，1，1），

BA

=（-1，0 1），

BF

=（-1，

3

2

，0 ）．
設(shè)平面ABF的法向量為

n

=（a，b，1），由

n

•

BA

=0，

n

•

BF

=0，解得 a=-1，b=1，故

n

=（-1，1，1）．
設(shè)BD與平面ABF所成角為θ，則 sinθ=cos＜

BD

，

n

＞=

BD • n

| BD | • | n |

=

|-1+ 2 3 +1|

3 • 2+ 4 9

=

66

33

，
∴θ=arcsin

66

33

．   

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和平面所成的角的定義和求法，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，兩個(gè)向量夾角公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．