Question

若Sn=sin

π

7

+sin

2π

7

+…+sin

nπ

7

(n∈N*)，則在S₁，S₂，…，S₂₀₁₃中，正數(shù)的個數(shù)是

1728

．

Answer 1

分析：利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，考察S₁，S₂，…，發(fā)掘規(guī)律，進(jìn)行求解．

解答：解：正弦函數(shù)是幅值在[-1，1]內(nèi)的周期函數(shù)．
且有sinx=-sin（x+π），sinx=sin（x+2π）．
∵sin

π

7

＞0，sin

2π

7

＞0，…，sin

6π

7

＞0，
sin

8π

7

＜0，…，sin

13π

7

＜0，
sin

7π

7

=0，sin

14π

7

=0．
∴S₁＞0，…，S₇＞0，…S₁₂＞0，S₁₃=0，S₁₄=0．S₁₅＞0…，
后面以此類推，直到S₂₀₀₂=0（每14個數(shù)分成一組）．
每組中大于0的個數(shù)是12，到S₂₀₀₂共有143組，
而S ₂₀₀₃＞0，S2004＞0，…，S ₂₀₁₃＞0，
所以正數(shù)共有12×143+11=1728個．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．