Question

設(shè)首項不為零的等差數(shù)列{a_n}前n項之和是S_n，若不等式an2+

Sn2

n2

≥λa12對任意a_n和正整數(shù)n恒成立，則實數(shù)λ的最大值為

 

．

Answer 1

分析：等差數(shù)列{a_n}中，首項不為零，前n項和S_n=

n(a1+an)

2

；由不等式an2+

Sn2

n2

≥λa12，得a_n²+

n2(a1+an) 2 4

n2

≥λa₁²，整理得

5

4

(

an

a1

)2+

1

2

an

a1

+

1

4

≥λ；若設(shè)t=

an

a1

，求函數(shù)y=

5

4

t²+

1

2

t+

1

4

的最小值，得λ的最大值．

解答：解：在等差數(shù)列{a_n}中，首項不為零，即a₁≠0；則數(shù)列的前n項之和為S_n=

n(a1+an)

2

；
由不等式an2+

Sn2

n2

≥λa12，得a_n²+

n2(a1+an) 2 4

n2

≥λa₁²，
∴

5

4

a_n²+

1

2

a₁a_n+

1

4

a₁²≥λa₁²，即

5

4

(

an

a1

)2+

1

2

an

a1

+

1

4

≥λ；
設(shè)t=

an

a1

，則y=

5

4

t²+

1

2

t+

1

4

=

5

4

(t+

1

5

)2+

1

5

≥

1

5

，
∴λ≤

1

5

，即λ的最大值為

1

5

；
故答案為

1

5

．

點評：本題考查了數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，其中用到換元法求得二次函數(shù)的最值，應(yīng)屬于考查計算能力的基礎(chǔ)題目．