Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=1+2^x．
（1）求其在R上的解析式；
（2）畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，并根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、值域；
（3）解不等式f（x）＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)x＞0，-x＜0，代入已知式子可得x＞0時(shí)的解析式，再由奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（0）=0，綜合可得解析式；
（2）由函數(shù)的解析式和圖象的變換可得圖象，進(jìn)而可得單調(diào)區(qū)間和值域；（3）作出函數(shù)y=

3

2

的圖象，數(shù)形結(jié)合可得不等式

3

2

的解集．

解答：解：（1）∵x＞0，∴-x＜0，
∴f（-x）=1+2-^x，
又f（x）為奇函數(shù)，∴-f（x）=f（-x）=1+2-^x，
化簡(jiǎn)可得f（x）=-（1+2-^x）
把x=0代入-f（x）=f（-x），可得f（0）=0
∴f（x）=

1+2x，x＜0 0    x=0 -(1+2-x)，x＞0

（2）由函數(shù)的解析式和圖象的變換可得圖象如下：

可知函數(shù)在（-∞，0）和（0，+∞）上單調(diào)遞增，
值域?yàn)椋?，2）∪（-2，-1）∪{0}
（3）再作出函數(shù)y=

3

2

的圖象，
數(shù)形結(jié)合可得不等式f（x）＜

3

2

的解集為（-∞，-1）∪[0，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)圖象的作法，涉及函數(shù)解析式的求解和不等式的解集，屬中檔題．