Question

已知函數(shù)f(x)=

2x-1

2x+1

．
（1）判斷f（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并加以證明；
（3）解不等式f(x)＞

7

9

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，且滿足f（-x）=-f（x），可得函數(shù)為奇函數(shù)．
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)．
（3））根據(jù)f(3)=

7

9

，f(x)＞

7

9

，可得不等式即 f（x）＞f（3）．再由f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，求得不等式f(x)＞

7

9

的解集．

解答：解：（1）f（x）為奇函數(shù)．∵f（x）的定義域為R，對?x∈R，
有f(-x)=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f(x)，∴f（x）為奇函數(shù)．…（4分）
（2）f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)．∵對-∞＜x₁＜x₂＜+∞，2x1-2x2＜0，f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
故 f(x1)-f(x2)=(1-

2

2x1+1

)-(1-

2

2x2+1

)=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0，
∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)．…（8分）
（3）∵f(3)=

7

9

，又∵f(x)＞

7

9

，即為f（x）＞f（3）．…（10分）
又f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，
∴不等式f(x)＞

7

9

的解集為{x|x＞3}．…（13分）

點評：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的綜合應用，判斷、證明函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的方法，屬于中檔題．