【題目】設(shè)函數(shù),其中
是自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)若在
上存在兩個極值點,求
的取值范圍;
(Ⅱ)若,函數(shù)
與函數(shù)
的圖象交于
,且
線段的中點為
,證明:
.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析.
【解析】
(Ⅰ)依題意在
上存在兩個極值點,等價于
在
有兩個不等實根,由
參變分類可得
,令
,利用導(dǎo)數(shù)研究
的單調(diào)性、極值,從而得到參數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)由題解得,
,要證
成立,只需證:
,即:
,只需證:
,設(shè)
,即證:
,再分別證明
,
即可;
解:(Ⅰ)由題意可知,,
在
上存在兩個極值點,等價于
在
有兩個不等實根,
由可得,
,令
,
則,令
,
可得,當(dāng)
時,
,
所以在
上單調(diào)遞減,且
當(dāng)時,
單調(diào)遞增;
當(dāng)時,
單調(diào)遞減;
所以是
的極大值也是最大值,
又當(dāng)
,當(dāng)
大于0趨向與0,
要使在
有兩個根,則
,
所以的取值范圍為
;
(Ⅱ)由題解得,
,要證
成立,
只需證:
即:,
只需證:
設(shè),即證:
要證,只需證:
令,則
在
上為增函數(shù)
,即
成立;
要證,只需證明:
令,則
在
上為減函數(shù),
,即
成立
成立,所以
成立.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某房地產(chǎn)開發(fā)商在其開發(fā)的某小區(qū)前修建了一個弓形景觀湖.如圖,該弓形所在的圓是以為直徑的圓,且
米,景觀湖邊界
與
平行且它們間的距離為
米.開發(fā)商計劃從
點出發(fā)建一座景觀橋(假定建成的景觀橋的橋面與地面和水面均平行),橋面在湖面上的部分記作
.設(shè)
.
(1)用表示線段
并確定
的范圍;
(2)為了使小區(qū)居民可以充分地欣賞湖景,所以要將的長度設(shè)計到最長,求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某超市春節(jié)大酬賓,購物滿100元可參加一次抽獎活動,規(guī)則如下:顧客將一個半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器正上方的人口處,小球在自由落下的過程中,將3次遇到黑色障礙物,最后落入A袋或B袋中,顧客相應(yīng)獲得袋子里的獎品.已知小球每次遇到黑色障礙物時,向左向右下落的概率都為.若活動當(dāng)天小明在該超市購物消費108元,按照活動規(guī)則,他可參加一次抽獎,則小明獲得A袋中的獎品的概率為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
(1)若時,求證:當(dāng)
時,
;
(2)若函數(shù)有4個零點,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)
的兩個零點為
和
.
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若的極小值為
,求
在區(qū)間
上的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是橢圓
的兩個焦點,
是橢圓
上一點,當(dāng)
時,有
.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設(shè)過橢圓右焦點的動直線
與橢圓交于
兩點,試問在
鈾上是否存在與
不重合的定點
,使得
恒成立?若存在,求出定點
的坐標,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《算法統(tǒng)宗》全稱《新編直指算法統(tǒng)宗》,是屮國古代數(shù)學(xué)名著,程大位著.書中有如下問題:“今有五人均銀四十兩,甲得十兩四錢,戊得五兩六錢.問:次第均之,乙丙丁各該若干?”意思是:有5人分40兩銀子,甲分10兩4錢,戊分5兩6錢,且相鄰兩項差相等,則乙丙丁各分幾兩幾錢?(注:1兩等于10錢)( )
A.乙分8兩,丙分8兩,丁分8兩B.乙分8兩2錢,丙分8兩,丁分7兩8錢
C.乙分9兩2錢,丙分8兩,丁分6兩8錢D.乙分9兩,丙分8兩,丁分7兩
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