Question

已知函數(shù)f（x）=|3^x-1|，g（x）=|a•3^x-9|（a＞0），x∈R，且函數(shù)h(x)=

g(x)，f(x)≥g(x) f(x)，f(x)＜g(x)

（1）當(dāng)2≤a＜9時(shí)，設(shè)函數(shù)h（x）=g（x）所對(duì)應(yīng)的自變量取值區(qū)間長(zhǎng)度為d（閉區(qū)間[m，n]的長(zhǎng)度定義為n-m），試求d的表達(dá)式并求d的最大值；
（2）是否存在這樣的a，使得對(duì)任意x≥2，都有h（x）=g（x），若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）本問(wèn)中借鑒上問(wèn)（1）的解題思想，由具體到一般，方法依然是針對(duì)a的范圍條件，作差比較出f₁（x）與f₂（x）的大小，在2≤a＜9時(shí)，自變量x取哪些值時(shí)f（x）=f₂（x），進(jìn)而確定求出f（x）的解析式，對(duì)參數(shù)的討論要結(jié)合具體的數(shù)值，從直觀到抽象采取分類策略．
（2）本問(wèn)利用（1）的結(jié)論容易求解，需要注意的是等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，分類討論思想重新在本問(wèn)中的體現(xiàn)．

解答：解：（1）h(x)=

g(x)，f(x)≥g(x) f(x)，f(x)＜g(x)

，
若h（x）=g（x），則g（x）≤f（x），即|a•3^x-9|≤|3^x-1|，
當(dāng)0＜x＜log3

9

a

時(shí)，由于a•3^x-9＜0，3^x-1＞0，
∴不等式|a•3^x-9|≤|3^x-1|，即為9-a•3^x≤3^x-1，解得x≥log3

10

a+1

，
故x的取值范圍為log3

10

a+1

≤x＜log3

9

a

；
當(dāng)x≥log3

9

a

時(shí)，由于a•3^x-9＞0，3^x-1＞0，
∴不等式|a•3^x-9|≤|3^x-1|，即為a•3^x-9≤3^x-1，解得x≤log3

8

a-1

，
故x的取值范圍為log3

9

a

≤x≤log3

8

a-1

．
綜上可得，x∈[log3

10

a+1

，log3

8

a-1

]時(shí)，h（x）=g（x），
故d=log3

8

a-1

-log3

10

a+1

=log3[

4

5

(1+

2

a-1

)]，
∵d=log3[

4

5

(1+

2

a-1

)]在[2，9）上為單調(diào)遞減函數(shù)，
∴當(dāng)a=2時(shí)，d取得最大值為d=log3

12

5

；
（2）當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，h（x）=g（x）恒成立，等價(jià)于|a•3^x-9|≤|3^x-1|，對(duì)x∈[2，+∞）恒成立，（*）
①當(dāng)a≥1時(shí)，log3

9

a

≤2，
∴當(dāng)x≥2時(shí)，a•3^x-9≥a•3log3

9

a

-9=0，則（*）可化為a•3^x-9≤3^x-1，即a≤1+

8

3x

，
又當(dāng)x≥2時(shí)，1+

8

3x

＞1，
∴a≤1，
故a=1適合題意；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，log3

9

a

＞2，
（i）當(dāng)x＞log3

9

a

時(shí)，（*）可化為a•3^x-9≤3^x-1，即a≤1+

8

3x

，又1+

8

3x

＞1，
∴a≤1，
故0＜a＜1符合題意；
（ii）當(dāng)x=log3

9

a

時(shí)，（*）可化為0≤3^x-1=

9

a

-1，
∴a∈R，
故0＜a＜1符合題意；
（iii）當(dāng)2≤x＜log3

9

a

時(shí)，（*）可化為9-a•3^x≤3^x-1，即a≥

10

3x

-1，而

10

3x

-1≤

1

9

，
∴a≥

1

9

，
故

1

9

≤a＜1符合題意．
由（i）（ii）（iii）可得，

1

9

≤a＜1符合題意．
綜合①②知，滿足題意的a存在，且a的取值范圍是

1

9

≤a≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)的有關(guān)概念，函數(shù)求值的問(wèn)題；對(duì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的概念亦有所考查，含參數(shù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題的討論，注重對(duì)分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想的考查，考查了對(duì)近年來(lái)高考真題中出現(xiàn)的有關(guān)恒成立問(wèn)題，存在性問(wèn)題的求解策略，對(duì)函數(shù)知識(shí)的綜合性解題能力有很高的要求，屬于壓軸題的題目難度．本題的求解策略是細(xì)讀題意，精確分析采取有難到易，各點(diǎn)擊破的思想，同時(shí)注意解題思想的應(yīng)用．屬于難題．