Question

（2013•威海二模）已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，設(shè)P是雙曲線右支上一點(diǎn)，|

F1F2

cos＜

F1F2

，

F1P

＞|=|

F1P

|，且＜

F1F2

，

F1P

＞=

π

6

，則雙曲線的離心率e=（　�。�

• A．

  3

  +1
• B．

  3 +1

  2

• C．

  5 +1

  4

• D．

  5 +1

  2

Answer 1

分析：由數(shù)量積的運(yùn)算可得故|

F1P

|=

3

c，由余弦定理可得|

F2P

|=c，由雙曲線的定義可得|

F1P

|-|

F2P

|=

3

c-c=2a，變形可得離心率．

解答：解：由題意可得|

F1F2

cos＜

F1F2

，

F1P

＞|=|

F1F2

|×|cos＜

F1F2

，

F1P

＞|
=|

F1F2

|cos

π

6

=

3

2

|

F1F2

|=|

F1P

|，故|

F1P

|=

3

2

×2c=

3

c，
由余弦定理可得

|F2P

|2=|

F1P

|2+|

F1F2

|2-2|

F1P

|

F1F2

|cos＜

F1F2

，

F1P

＞
=(

3

c)2+(2c)2-2×

3

c×2c×

3

2

=c²，即|

F2P

|=c
由雙曲線的定義可得|

F1P

|-|

F2P

|=

3

c-c=2a，
故可得雙曲線的離心率e=

c

a

=

2

3 -1

=

3

+1
故選A

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的離心率的求解，涉及向量的數(shù)量積和三角形的余弦定理，屬中檔題．