Question

（2012•東莞市模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=log_ax（a為常數(shù)且a＞0，a≠1），已知數(shù)列f（x₁），f（x₂），…，f（x_n），…是公差為2的等差數(shù)列，且x1=a2．
（Ⅰ）求數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，求證：x1+x2+…+xn＜

1

3

．

Answer 1

分析：（1）由f（x₁），f（x₂），…，f（x_n），…是公差為2的等差數(shù)列，且x1=a2，知f（x_n）=loga（a²）+2（n-1）=2n．由此能求出數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由（1）和a=

1

2

得，x₁+x₂+…+x_n=（

1

2

）²+（

1

2

）⁴+…+（

1

2

）²ⁿ=

1

3

•[1-(

1

4

)n]．由此能夠證明當(dāng)a=

1

2

時(shí)，x1+x2+…+xn＜

1

3

．

解答：解：（1）∵f（x₁），f（x₂），…，f（x_n），…是公差為2的等差數(shù)列，
且x1=a2，
∴f（x_n）=loga（a²）+2（n-1）=2n．
∵f（x_n）=loga（x_n）=2n，
∴x_n=a²ⁿ．
（2）由（1）和a=

1

2

得，
x₁+x₂+…+x_n
=（

1

2

）²+（

1

2

）⁴+…+（

1

2

）²ⁿ
=

1 4 [1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=

1

3

•[1-(

1

4

)n]．
∵1-(

1

4

)n＜1，
∴

1

3

•[1-(

1

4

)n]＜

1

3

．
故當(dāng)a=

1

2

時(shí)，x1+x2+…+xn＜

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．