Question

已知函數(shù)f(x)=

a•2x+a-2

2x+1

是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）求函數(shù)的值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）為定義域為R的奇函數(shù)，則f（0）=0，代入解析式可求出a的值；
（2）由（1）知f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，所以f（x）為增函數(shù)，任取x₁＜x₂∈R，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符號，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判定；
（3）令y=

2x-1

2x+1

，求出2^x，根據(jù)2^x的范圍可求出y的范圍，從而求出函數(shù)的值域．

解答：解：（1）f（x）的定義域為R，且為奇函數(shù)，∴f（0）=0，
∴a=1
（2）由（1）知f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，所以f（x）為增函數(shù)
證明：任取x₁＜x₂∈R
f（x₁）-f（x₂）=1-

2

2x1+1

-1+

2

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1) (2x2+1)

∵x₁＜x₂∈R∴2x1＜2x2
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）為R上的增函數(shù)．
（3）令y=

2x-1

2x+1

則2x=

-1-y

y-1

而2^x＞0∴2x=

-1-y

y-1

＞0
∴-1＜y＜1
所以函數(shù)f（x）的值域為（-1，1）

點評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的值域，屬于中檔題．