Question

已知命題p：在x∈（-∞，0]上有意義，命題q：函數(shù)y=lg（ax²-x+a）的定義域為R．如果p和q有且僅有一個正確，則a的取值范圍    ．

Answer 1

【答案】分析：由函數(shù)在x∈（-∞，0]上有意義可得p；由函數(shù)y=lg（ax²-x+a）的定義域為R．可得ax²-x+a＞0恒成立，結合二次函數(shù)的性質可求q，而p和q有且僅有一個正確即是①p正確而q不正確，②q正確而p不正確，兩種情況可求a的范圍
解答：解：x∈（-∞，0]時，3^x∈（0，1]，
∵函數(shù)在x∈（-∞，0]上有意義，
∴1-a•3^x≥0，∴a≤，
∴a≤1，
即使p正確的a的取值范圍是：a≤1．（2分）
由函數(shù)y=lg（ax²-x+a）的定義域為R．可得ax²-x+a＞0恒成立
（1）當a=0時，ax²-x+a=-x不能對一切實數(shù)恒大于0．
（2）當a≠0時，由題意可得，△=1-4a²＜0，且a＞0
∴a＞．
故q正確：a＞．（4分）
①若p正確而q不正確，則，即a≤，（6分）
②若q正確而p不正確，則，即a＞1，（8分）
故所求的a的取值范圍是：（-∞，]∪（1，+∞）．
故答案為：（-∞，]∪（1，+∞）．
點評：本題考查命題的真假判斷和應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意函數(shù)的定義域的合理運用．