Question

甲烷分子(CH₄)由一個碳原子和四個氫原子組成,其空間構(gòu)型為一個各條棱都相等的四面體,其中四個氫原子分別位于該四面體的四個頂點(diǎn)上,碳原子位于該四面體的中心,它與每個氫原子的距離都相等,若視氫原子、碳原子為一個點(diǎn),四面體的棱長為a,求碳原子到各個氫原子的距離.

Answer 1

思路分析：由題意立即聯(lián)想到正四面體的外接球,而正四面體又可以看作是正方體的六條面對角線圍成的圖形,因此,將正四面體補(bǔ)成一個正方體,從而建立相關(guān)量之間的關(guān)系.

解:顯然,四面體的四個頂點(diǎn)在以中心(碳原子)為球心,中心到各頂點(diǎn)(氫原子)的距離為半徑的球面上,如圖,將此正四面體ABCD補(bǔ)成正方體BD′,其中A′、B′、D′也在球面上,設(shè)碳原子到每個氫原子的距離為x,則2x=BD′.

    BD′、AB(a)、AA′之間的關(guān)系是a=AB=AA′,2x=BD′=AA′,

    因此x=3·,∴x=a,即碳原子到各個氫原子的距離為a.

講評:在立體幾何中,我們常常將四面體補(bǔ)成正四面體或平行六面體、正四面體補(bǔ)成正方體、過同一個頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直的四面體補(bǔ)成長方體、四棱錐補(bǔ)成平行六面體,等等,掌握這些補(bǔ)形規(guī)律,有助于提高解題能力.