Question

（2013•濟(jì)南二模）設(shè)f(x)=

(x+a)lnx

x+1

，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線2x+y+1=0垂直．
（1）求a的值；
（2）若?x∈[1，+∞），f（x）≤m（x-1）恒成立，求m的范圍．
（3）求證：ln

4	2n+1

＜

n

i=1

i

4i2-1

．(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）求得函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線2x+y+1=0垂直，即可求a的值；
（2）先將原來(lái)的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為lnx≤m(x-

1

x

)，設(shè)g(x)=lnx-m(x-

1

x

)，即?x∈（1，+∞），g（x）≤0．利用導(dǎo)數(shù)研究g（x）在（0，+∞）上單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（3）由（2）知，當(dāng)x＞1時(shí)，m=

1

2

時(shí)，lnx＜

1

2

(x-

1

x

)成立．不妨令x=

2k+1

2k-1

，k∈N*，得出

1

4

[ln(2k+1)-ln(2k-1)]＜

k

4k2-1

，k∈N*，再分別令k=1，2，…，n．得到n個(gè)不等式，最后累加可得．

解答：解：（1）f′(x)=

( x+a x +lnx)(x+1)-(x+a)lnx

(x+1)2

-----------------------（2分）
由題設(shè)f′(1)=

1

2

，
∴

(1+a)2

4

=

1

2

∴1+a=1，∴a=0．-------------------------------（4分）
（2）f(x)=

xlnx

x+1

，?x∈（1，+∞），f（x）≤m（x-1），即lnx≤m(x-

1

x

)
設(shè)g(x)=lnx-m(x-

1

x

)，即?x∈（1，+∞），g（x）≤0．
g′(x)=

1

x

-m(1+

1

x2

)=

-mx2+x-m

x2

-------------------------------------（6分）
①若m≤0，g'（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，這與題設(shè)g（x）≤0矛盾．-----------------（8分）
②若m＞0方程-mx²+x-m=0的判別式△=1-4m²
當(dāng)△≤0，即m≥

1

2

時(shí)，g'（x）≤0．
∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x）≤g（1）=0，即不等式成立．-------------------------------------------（9分）
當(dāng)0＜m＜

1

2

時(shí)，方程-mx²+x-m=0，其根x1=

1- 1-4m2

2m

＞0，x1=

1+ 1-4m2

2m

＞1，
當(dāng)x∈（1，x₂），g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，g（x）＞g（1）=0，與題設(shè)矛盾．
綜上所述，m≥

1

2

．------------------------------------------------------------------------（10分）
（3）由（2）知，當(dāng)x＞1時(shí)，m=

1

2

時(shí)，lnx＜

1

2

(x-

1

x

)成立．
不妨令x=

2k+1

2k-1

，k∈N*
所以ln

2k+1

2k-1

＜

1

2

(

2k+1

2k-1

-

2k-1

2k+1

)=

4k

4k2-1

，

1

4

[ln(2k+1)-ln(2k-1)]＜

k

4k2-1

，k∈N*----------------------（11分）

1 4 (ln3-ln1)＜ 1 4×12-1 1 4 (ln5-ln3)＜ 2 4×22-1 … 1 4 (ln(2n+1)-ln(2n-1))＜ n 4×n2-1

---------------------（12分）
累加可得

1

4

ln(2n+1)＜

n

i=1

i

4i2-1

．(n∈N*)．即ln

4	2n+1

＜

n

i=1

i

4i2-1

．(n∈N*)．------------------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．