Question

設(shè)P（x，y）為曲線y=|

1

2

x²-1|上的一點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，a）（a＞1）．求|PA|的最小值．

Answer 1

分析：首先畫出曲線y=|

1

2

x²-1|的圖象．根據(jù)圖象分-

2

＜x＜

2

，x＜-

2

，或x＞

2

兩種情況討論|PA|的最小值．再通過(guò)a的取值．a(chǎn)＞4時(shí)，a²-4a＞0，即a-1＞

2a+1

，此時(shí)|PA|_min=

2a+1

；當(dāng)1＜a≤4時(shí)，a²-4a≤0，即a-1≤

2a+1

，此時(shí)|PA|_min=a-1．從而確定|PA|的最小值．

解答：解：令

1

2

x²-1=0，則
x=±

2

．
∵a＞1
∴如圖可知，
當(dāng)-

2

＜x＜

2

時(shí)，|PA|≥a-1，
當(dāng)x＜-

2

，或x＞

2

時(shí)，
|PA|=

x2+(y-a)2

=

x2+( 1 2 x2-1-a)2

=

1 4 x4-ax2+a2+2a+1

=

( 1 2 x2-a)2+2a+1

≥

2a+1

．
∵（a-1）²-（2a+1）=a²-4a，
∴a＞4時(shí)，a²-4a＞0，即a-1＞

2a+1

，
此時(shí)|PA|_min=

2a+1

；
當(dāng)1＜a≤4時(shí)，a²-4a≤0，即a-1≤

2a+1

，
此時(shí)|PA|_min=a-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)形結(jié)合以及分類討論的思想，兩點(diǎn)間的距離公式，不等式的解法及應(yīng)用等知識(shí)的綜合運(yùn)用．屬于難題．