Question

設(shè)F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上的任意一點(diǎn)，滿足|PF₁|+|PF₂|=8，△PF₁F₂的周長(zhǎng)為12，
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求的最大值和最小值；
（Ⅲ）已知點(diǎn)A（8，0），B（2，0），是否存在過(guò)點(diǎn)A的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C，D，使得|BC|=|BD|？若存在，求直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）由題設(shè)2a=8，2a+2c=12，
則a=4，c=2，b²=12，
所以橢圓的方程是；
（Ⅱ）易知F₁=（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
設(shè)P（x，y），
則
，
因?yàn)閤∈[-4，4]，所以x²∈[0，16]，8≤≤12，
點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值8；
點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值12。
（Ⅲ）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l與橢圓無(wú)交點(diǎn)，所以若直線l存在，則直線l的斜率也存在，
設(shè)直線l的斜率為k．則直線l的方程為y=k（x-8），
由方程組，
則，
設(shè)交點(diǎn)C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），CD的中點(diǎn)為T（x₀，y₂），
則，
，
因?yàn)閨BC|=|BD|，則BT⊥CD，，
于是，
方程無(wú)解，所以不存在滿足題目要求的直線l。