Question

某海域有A、B兩個(gè)島嶼，B島在A島正東40海里處．經(jīng)多年觀察研究發(fā)現(xiàn)，某種魚群洄游的路線像一個(gè)橢圓，其焦點(diǎn)恰好是A、B兩島．曾有漁船在距A島正西20海里發(fā)現(xiàn)過魚群．某日，研究人員在A、B兩島同時(shí)用聲納探測(cè)儀發(fā)出不同頻率的探測(cè)信號(hào)（傳播速度相同），A、B兩島收到魚群反射信號(hào)的時(shí)間比為5：3．你能否確定魚群此時(shí)分別與A、B兩島的距離？

Answer 1

分析：以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系．設(shè)橢圓方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)且c=

a2-b2

．由焦點(diǎn)A的正西方向橢圓上的點(diǎn)為左頂點(diǎn)，知a-c=20，由|AB|=2c=40，知c=20，a=40，b=20

3

，由此能求出魚群的運(yùn)動(dòng)軌跡方程是

x2

1600

+

y2

1200

=1．從而能夠求出魚群分別距A，B兩島的距離．

解答：解：以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系
設(shè)橢圓方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)且c=

a2-b2

------（3分）
因?yàn)榻裹c(diǎn)A的正西方向橢圓上的點(diǎn)為左頂點(diǎn)，
所以a-c=20------（5分）
又|AB|=2c=40，
則c=20，a=40，
故b=20

3

------（7分）
所以魚群的運(yùn)動(dòng)軌跡方程是

x2

1600

+

y2

1200

=1------（8分）
由于A，B兩島收到魚群反射信號(hào)的時(shí)間比為5：3，
因此設(shè)此時(shí)距A，B兩島的距離分別為5k，3k-------（10分）
由橢圓的定義可知5k+3k=2×40=80⇒k=10--------（13分）
即魚群分別距A，B兩島的距離為50海里和30海里．------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓問題在生產(chǎn)實(shí)際中的具體應(yīng)用，涉及到橢圓方程的求法，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，橢圓的直線方程的關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意轉(zhuǎn)化思想的靈活運(yùn)用．