Question

【題目】求滿足下列條件的橢圓或雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（1）橢圓的焦點在軸上，焦距為4，且經(jīng)過點；

（2）雙曲線的焦點在軸上，右焦點為，過作重直于軸的直線交雙曲線于，兩點，且，離心率為.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)下焦點即可得知上焦點坐標(biāo)，由橢圓定義即可求得a，結(jié)合焦距即可求得b，進(jìn)而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（2）因為過右焦點F作垂直，即可表示出A、B兩點的坐標(biāo)及長度，進(jìn)而根據(jù)求得a、b的關(guān)系，結(jié)合雙曲線中a、b、c的關(guān)系即可求得a、b的值，進(jìn)而求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

上焦點為，下焦點為，

根據(jù)橢圓的定義知，，即，

所以，

因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

把帶入雙曲線方程，得，所以.

由，得.

所以，

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.