Question

（理）已知函數(shù)g（x）=1-cos（x+2ψ）（0＜ψ＜）的圖象過點(diǎn)（1，2），若有4個(gè)不同的正數(shù)x_i 滿足g（x_i）=M，且x_i＜8（i=1，2，3，4），則x₁+x₂+x₃+x₄等于（ ）
A．12
B．20
C．12或20
D．無法確定

Answer 1

【答案】分析：先由g（x）過點(diǎn)（1，2），求得φ，進(jìn)而求得函數(shù)g（x），再由g（x）=M 在兩個(gè)周期之內(nèi)有四個(gè)解，則在在一個(gè)周期內(nèi)必有兩個(gè)解，表示出四個(gè)解來相加可得．
解答：解：因?yàn)椋汉瘮?shù)g（x）=1-cos（x+2ψ）（0＜ψ＜）的圖象過點(diǎn)（1，2），
∴1-cos（+2φ）=2，
∴sin2φ=1，
∴φ=
∴g（x）=1-cos（x-）=1-sinx．
∵g（x）=M 在兩個(gè)周期之內(nèi)竟然有四個(gè)解，
∴sinx=1-M在一個(gè)周期內(nèi)有兩個(gè)解
當(dāng)1-M＞0時(shí)，四個(gè)根中其中兩個(gè)關(guān)于x=11對稱，另兩個(gè)關(guān)于x=5對稱，故其和為2×1+5×2=12．
 當(dāng)1-M＜0時(shí)，四個(gè)根中其中兩個(gè)關(guān)于x=3對稱，另兩個(gè)關(guān)于x=7對稱，故其和為2×3+7×2=20．
綜上得：x₁+x₂+x₃+x₄=12或20．
故選C．
點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的周期性及三角方程有多解的特性，但都有相應(yīng)的規(guī)律，與周期有關(guān)．