Question

如圖，矩形ABCD所在的平面與平面ABF互相垂直，在△ABF中，AB=

3

，AF=2，BF=1，O、P分別為AC和AF的中點(diǎn)．
（1）求證：AB⊥CF；
（2）若四棱錐F-ABCD的體積為1，求直線OP與平面ABF所成角的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）首先，證明AB⊥BF，然后，AB⊥CB，從而得到AB⊥平面CFB，故得到該命題成立；
（2）首先，找到∠CFB為直線CF與平面ABF所成的角，然后，在三角形中求解即可．

解答： 解：（1）在△ABF中，AB=

3

，AF=2，BF=1，
∴AB²+BF²=AF²，
∴AB⊥BF，
而矩形ABCD中AB⊥CB，
∴AB⊥平面CFB，
又∵CF?平面BCF∵AB⊥CF，
（2）∵VF-ABCD=

1

3

S矩形ABCD•BF=

1

3

×BC×

3

×1=1
∴BC=

3

，
∵CB⊥平面ABF，
∴∠CFB為直線CF與平面ABF所成的角，
在Rt△ABC中，BF=1，
∴tan∠CFB=

BC

BF

=

3

，
∴∠CFB=60°，
又∵O、P分別為AC和AF的中點(diǎn)，
∴OP∥CF，
∴直線OP與平面ABF所成角的大小等于直線CF與平面ABF所成角的大小，
∴直線OP與平面ABF所成角為60°．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了空間中直線與直線平行和垂直、線面角、線面垂直的判定和性質(zhì)定理等知識(shí)，屬于綜合性題目，處理求解空間角問題時(shí)，解決的總的思路是：先找，后求的原則．