Question

在三棱錐A－BCD中，側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD＝，BD＝CD＝1，另一個(gè)側(cè)面是正三角形

（1）  求證：AD^BC

（2）  求二面角B－AC－D的大小

（3）  在直線AC上是否存在一點(diǎn)E，使ED與面BCD成30°角？若存在，確定E的位置；若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

解法一：（1）  方法一：作AH^面BCD于H，連DH。

AB^BDÞHB^BD，又AD＝，BD＝1

AB＝＝BC＝AC  BD^DC

又BD＝CD，則BHCD是正方形，則DH^BCAD^BC

方法二：取BC的中點(diǎn)O，連AO、DO

則有AO^BC，DO^BC，BC^面AOD

BC^AD

（2）  作BM^AC于M，作MN^AC交AD于N，則ÐBMN就是二面角B－AC－D的平面角，因?yàn)锳B＝AC＝BC＝M是AC的中點(diǎn)，且MN¤¤CD，則BM＝，MN＝CD＝，BN＝AD＝，由余弦定理可求得cosÐBMN＝

ÐBMN＝arccos

（3）  設(shè)E是所求的點(diǎn)，作EF^CH于F，連FD。則EF¤¤AH，EF^面BCD，ÐEDF就是ED與面BCD所成的角，則ÐEDF＝30°。設(shè)EF＝x，易得AH＝HC＝1，則CF＝x，F(xiàn)D＝，tanÐEDF＝解得x＝，則CE＝＝1

故線段AC上存在E點(diǎn)，且CE＝1時(shí)，ED與面BCD成30°角。

解法二：此題也可用空間向量求解，解答略