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        1. 精英家教網(wǎng)如圖△ABC,D是∠BAC的平分線(xiàn)
          (Ⅰ)用正弦定理證明:
          AB
          AC
          =
          BD
          DC
          ;
          (Ⅱ)若∠BAC=120°,AB=2,AC=1,求AD的長(zhǎng).
          分析:(Ⅰ)設(shè)∠ADB=α,∠BAD=β則在△ABD中根據(jù)正弦定理
          AB
          BD
           =
          sinα
          sinβ
          ,同時(shí)在△ACD中根據(jù)正弦定理
          AC
          DC
          =
          sin∠ADC
          sin∠DCA
          由根據(jù)∠BAD=∠DAC,∠DCA=180°-α,進(jìn)而得出
          sin∠ADC
          BD∠DCA
          =
          sinα
          sinβ
          ,進(jìn)而證明
          AB
          AC
          =
          BD
          DC

          (Ⅱ)先由余弦定理在△ABC求出BC,再根據(jù)AB=2,AC=1,
          AB
          AC
          =
          BD
          DC
          求出BD和DC,在△ABD中由余弦定理得求出AD
          解答:(Ⅰ)證明:設(shè)∠ADB=α,∠BAD=β,則∠ADC=180°-α,∠CAD=β
          由正弦定理得,在△ABD中,
          AB
          sinα
          =
          BD
          sinβ

          在△ACD中,
          AC
          sin(180°-α)
          =
          DC
          sinβ
          ,②
          又sinα=sin(180°-α)③
          由①②③得:
          AB
          AC
          =
          BD
          DC


          (Ⅱ)解:在△ABC中,由余弦定理得
          BC2=AB2+AC2-2AB•ACcos∠BAC
          =4+1-2×2×1×cos120°=7.20090209
          故BC=
          7

          設(shè)BD=x,DC=y,則
          x+y=
          7

          由(Ⅰ)得
          x
          y
          =2
          ,即x=2y⑤
          聯(lián)立④⑤解得x=
          2
          7
          3
          ,y=
          7
          3

          故cosB=
          AB2+BC2-AC2
          2AB•BC
          =
          5
          2
          7

          在△ABD中,由余弦定理得
          AD2=AB2+BD2=2AB•BDcos∠ABD
          =4+(
          2
          7
          3
          )2-2×2×
          2
          7
          3
          ×
          5
          2
          7

          =
          4
          9

          所以AD=
          2
          3
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用.在解三角形問(wèn)題的時(shí)候往往通過(guò)這兩個(gè)定理進(jìn)行角和邊的互化,故應(yīng)靈活運(yùn)用.
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          求證:AB=CD.

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          求證:AB=CD.
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          如圖△ABC,D是∠BAC的平分線(xiàn)
          (Ⅰ)用正弦定理證明:=;
          (Ⅱ)若∠BAC=120°,AB=2,AC=1,求AD的長(zhǎng).

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