Question

設(shè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓M的方程為

x2

4

+

y2

b2

=1（b＞0），其離心率為

2

2

．
（1）求橢圓M的方程；
（2）若直線l過(guò)點(diǎn)P（0，4），則直線l何時(shí)與橢圓M相交？

Answer 1

分析：（1）利用焦點(diǎn)在x軸上的橢圓M的方程為

x2

4

+

y2

b2

=1（b＞0），其離心率為

2

2

，求出幾何量，即可得到橢圓的方程；
（2）分類(lèi)討論，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用判別式非負(fù)，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵焦點(diǎn)在x軸上的橢圓M的方程為

x2

4

+

y2

b2

=1（b＞0），其離心率為

2

2

，
∴

4-b2

4

=

1

2

∴b²=2
∴橢圓M的方程為

x2

4

+

y2

2

=1；
（2）直線l過(guò)點(diǎn)P（0，4），故斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=kx+4
代入橢圓方程可得（1+2k²）x²+16kx+28=0
∴△=256k²-112（1+2k²）≥0
∴k≥

14

2

或k≤-

14

2

時(shí)，直線l與橢圓M相交
斜率不存在時(shí)，直線l與橢圓M相交．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．