Question

如圖，由M到N的電路中有4個(gè)元件，分別標(biāo)為T₁，T₂，T₃，T₄，電流能通過(guò)T₁，T₂，
T₃的概率都是p，電流能通過(guò)T₄的概率是0.9．電流能否通過(guò)各元件相互獨(dú)立．已知
T₁，T₂，T₃中至少有一個(gè)能通過(guò)電流的概率為0.999．
（1）求p；
（2）求電流能在M與N之間通過(guò)的概率；
（3）ξ表示T₁，T₂，T₃，T₄中能通過(guò)電流的元件個(gè)數(shù)，求ξ的期望．

Answer 1

分析：記A_i表示事件：電流能通過(guò)T_i，i=1、2、3、4，A表示事件：T₁，T₂，T₃中至少有一個(gè)能通過(guò)電流，B表示事件：電流能在M、N之間通過(guò)．
（I）T₁，T₂，T₃中至少有一個(gè)能通過(guò)電流的概率為0.999，可得它們都不能通過(guò)電流的概率為1-0.999=0.001．由于A_i之間相互獨(dú)立且發(fā)生的概率均為p，可得P（

.

A

）=P（

.

A1

）P（

.

A2

）P（

.

A3

）=（1-p）³=0.001，解之得p=0.9；
（II）將B分解為A₄、

.

A4

A₁A₃與

.

A4

.

A1

A₂A₃的和，再用概率的乘法公式和加法公式，可求出電流能在M與N之間通過(guò)的概率；
（III）由題意可得：ξ服從二項(xiàng)分布，n=4且p=0.9．利用二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式，可以算出求ξ的期望．

解答：解：記A_i表示事件：電流能通過(guò)T_i，i=1、2、3、4，
A表示事件：T₁，T₂，T₃中至少有一個(gè)能通過(guò)電流，
B表示事件：電流能在M、N之間通過(guò)．
（I）

.

A

=

.

A1

•

.

A2

•

.

A3

，（A₁，A₂，A₃相互獨(dú)立）
∴P（

.

A

）=P（

.

A1

•

.

A2

•

.

A3

）=P（

.

A1

）P（

.

A2

）P（

.

A3

）=（1-p）³，
又∵P（

.

A

）=1-P（A）=1-0.999=0.001
∴（1-p）³=0.001，解之得p=0.9
（II）∵B=A₄+

.

A4

•A₁•A₃+

.

A4

•

.

A1

•A₂•A₃，
∴P（B）=P（A₄）+P（

.

A4

•A₁•A₃）+P（

.

A4

•

.

A1

•A₂•A₃）
=P（A₄）+P（

.

A4

）P（A₁）P（A₃）+P（

.

A4

）P（

.

A1

）P（A₂）P（A₃）
=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9=0.9891
即電流能在M與N之間通過(guò)的概率為0.991
（III）由于電流能通過(guò)各元件的概率都是0.9，且電流能通過(guò)各元件相互獨(dú)立，
用ξ表示T₁，T₂，T₃，T₄中能通過(guò)電流的元件個(gè)數(shù)，則ξ服從二項(xiàng)分布，n=4且p=0.9
即ξ～B（4，0.9），由二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式，得Eξ=4×0.9=3.6
即ξ的期望為3.6

點(diǎn)評(píng)：本題給出一個(gè)并聯(lián)和串聯(lián)相復(fù)合的電路，求電流能接通的概率，著重考查了相互獨(dú)立事件的概率乘法公式、互斥事件與對(duì)立事件和離散型隨機(jī)變量的期望與方差等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．