Question

若函數(shù)f（x）滿足：對定義域內任意兩個不相等的實數(shù)x₁，x₂，都有，則稱函數(shù)f（x）為H函數(shù)．已知f（x）=x²+cx，且f（x）為偶函數(shù)．
（1）求c的值；
（2）求證：f（x）為H函數(shù)；
（3）試舉出一個不為H函數(shù)的函數(shù)g（x），并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得f（-x）=f（x）對任意的x都成立，從而可求c及f（x）
（2）要證f（x）為H函數(shù)，只要證明，即可
（3）例：g（x）=log₂x（說明：底數(shù)大于1的對數(shù)函數(shù)或-x²都可以即上凸函數(shù)）
解答：解：（1）因為f（x）=x²+cx，為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x）對任意的x都成立
即x²-cx=x²+cx對任意x都成立
即cx=0對任意的x都成立
所以c=0，f（x）=x²
（2）∵.…（4分）
=，…（5分）
∴，即f（x）為H函數(shù)．…（6分）
（3）例：g（x）=log₂x．…（8分）
（說明：底數(shù)大于1的對數(shù)函數(shù)或-x²都可以）．
理由：當x₁=1，x₂=2時，，…（10分）
，…（12分）
顯然不滿足，
所以該函數(shù)g（x）=log₂x不為H函數(shù)．…（14分）
點評：本題主要考查偶函數(shù)的定義的應用，及比較法在比較大小中的應用，及利用新定義解決試題的能力