Question

已知拋物線方程為y²=2px（p＞0）．
（Ⅰ）若點(diǎn)（2，2

2

）在拋物線上，求拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若過焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線m交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線的準(zhǔn)線l上，直線MA、MF、MB的斜率分別記為k_MA、k_MF、k_MB，求證：k_MA、k_MF、k_MB成等差數(shù)列．

Answer 1

（Ⅰ）∵（2，2

2

）在拋物線y²=2px（p＞0）上，
∴由（2

2

）²=2p×2得p=2
∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），準(zhǔn)線l的方程為x=-1
（Ⅱ）證明：過焦點(diǎn)F（1，0）且傾斜角為60°的直線m的方程為y=

3

（x-1），與拋物線方程聯(lián)立，消元可得3x²-10x+3=0，
∴x₁=3，x₂=

1

3

，
∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為A（3，2

3

），B（

1

3

，-

2 3

3

）
∵拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（-1，t），
則k_MA=

2 3 -t

4

，k_MB=-

2 3 +3t

4

，k_MF=-

t

2

∴k_MA+k_MB=

2 3 -t

4

-

2 3 +3t

4

=-t=2k_MF，
∴k_MA、k_MF、k_MB成等差數(shù)列．