Question

(2009山東卷理)（本小題滿分12分）

兩縣城A和B相距20km，現(xiàn)計(jì)劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點(diǎn)C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的的距離有關(guān)，對城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點(diǎn)到城A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y,統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點(diǎn)到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對城B的影響度與所選地點(diǎn)到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k ,當(dāng)垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時(shí)，對城A和城B的總影響度為0.065.

（1）將y表示成x的函數(shù)；

（11）討論（1）中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷弧上是否存在一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小？若存在，求出該點(diǎn)到城A的距離;若不存在，說明理由。

Answer 1

解法一:（1）如圖,由題意知AC⊥BC,,

其中當(dāng)時(shí)，y=0.065,所以k=9

所以y表示成x的函數(shù)為

（2）,,令得,所以,即,當(dāng)時(shí), ,即所以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù),當(dāng)時(shí), ,即所以函數(shù)為單調(diào)增函數(shù).所以當(dāng)時(shí), 即當(dāng)C點(diǎn)到城A的距離為時(shí), 函數(shù)有最小值.

解法二: （1）同上.

（2）設(shè),

則,,所以

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取”=”.

下面證明函數(shù)在(0,160)上為減函數(shù), 在(160,400)上為增函數(shù).

設(shè)0<m₁<m₂<160,則

 

,

因?yàn)?<m₁<m₂<160,所以4>4×240×240

9 m₁m₂<9×160×160所以,

所以即函數(shù)在(0,160)上為減函數(shù).

同理,函數(shù)在(160,400)上為增函數(shù),設(shè)160<m₁<m₂<400,則

因?yàn)?600<m₁<m₂<400,所以4<4×240×240, 9 m₁m₂>9×160×160

所以,

所以即函數(shù)在(160,400)上為增函數(shù).

所以當(dāng)m=160即時(shí)取”=”,函數(shù)y有最小值,

所以弧上存在一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小.