Question

【題目】設(shè)函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，求的值域；

（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立（是的導(dǎo)函數(shù)），求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）求導(dǎo)，令，求出極值點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可得出內(nèi)的最值，即可得出值域；

（2）根據(jù)題意，構(gòu)造新函數(shù)，將不等式的恒成立問題，轉(zhuǎn)化為在內(nèi)的恒成立問題，求導(dǎo)，再二次求導(dǎo)，通過單調(diào)性求出最值，即可求出參數(shù)的取值范圍.

（1）由題可得.

令，得.

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以，

.

因?yàn)?/span>，所以，

所以的值域?yàn)?/span>.

（2）由得，

即.

設(shè)，則.

設(shè)，則.

當(dāng)時(shí)，，，所以.

所以即在上單調(diào)遞增，則.

若，則，所以在上單調(diào)遞增.

所以恒成立，符合題意.

若，則，必存在正實(shí)數(shù)，

滿足：當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，此時(shí)，不符合題意.

綜上所述，的取值范圍是.