Question

若非零函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b均有f(a+b)=f(a)·f(b)，且當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＞1。
（1）求證：f(x)＞0；
（2）求證：f(x)為減函數(shù)；
（3）當(dāng)時(shí)，解不等式。

Answer 1

解：（1），
又若f(x₀)=0，
則f(x)=f(x-x₀+x₀)=f(x-x₀)f(x₀)=0與已經(jīng)矛盾，故 f(x)＞0。
（2）設(shè)，則，
又∵f(x)為非零函數(shù)，
∴，
∴f(x)為減函數(shù)。
（3）由，由（1），
原不等式轉(zhuǎn)化為，
結(jié)合（2）得：，
故不等式的解集為。