Question

如圖，E是圓O內(nèi)兩弦AB和CD的交點(diǎn)F是AD延長線上一點(diǎn)，F(xiàn)G與圓O相切于點(diǎn)G，且EF=FG，求證：
（1）△EFD～△AFE；
（2）EF∥BC．

Answer 1

分析：（1）利用切割線定理可得FG²=FD•FA，利用EF=FG，可得

EF

FD

=

FA

EF

，從而可得EFD∽△AFE；
（2）由（1）有∠FED=∠FAE，利用∠FAE和∠BCD都是

BD

上的圓周角，可得∠FED=∠BCD，從而EF∥BC．

解答：證明：（1）∵FG與圓O相切于點(diǎn)G，∴FG²=FD•FA，
∵EF=FG，EF²=FD•FA，∴

EF

FD

=

FA

EF

，
∵∠EFD=∠AFE，∴△EFD∽△AFE．…（5分）
（2）由（1），有∠FED=∠FAE，
∵∠FAE和∠BCD都是

BD

上的圓周角，
∴∠FED=∠BCD，
∴EF∥BC．…（10分）

點(diǎn)評：本題考查切割線定理，考查三角形相似，考查圓周角，屬于中檔題．