Question

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A（3，0），B（0，1），C是以O(shè)為圓心的單位圓上一點，且∠COA=

3

4

π．
（Ⅰ）求

AB

+

OC

的坐標；
（Ⅱ）若直線OC與直線AB交于點D，且

AD

=λ

DB

，求實數(shù)λ的值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)三角函數(shù)的定義和單位圓，算出C（-

2

2

，

2

2

），由A、B的坐標得到

AB

=（-3，1），由此即可得到向量

AB

+

OC

的坐標；
（II）由

AD

=λ

DB

算出D的坐標為（

3

1+λ

，

λ

1+λ

），代入直線OC方程y=-x得到關(guān)于λ的方程，解之即可得到λ的值．

解答：解：（I）∵C是以O(shè)為圓心的單位圓上一點，
∴設(shè)C（cosθ，sinθ），由∠COA=

3

4

π得cosθ=-

2

2

，sinθ=

2

2

由此可得C（-

2

2

，

2

2

），
∵A（3，0），B（0，1），
∴

AB

=

OB

-

OA

=（-3，1），
可得

AB

+

OC

=（-3，1）+（-

2

2

，

2

2

）=（-3-

2

2

，1+

2

2

）；
（II）由（I）得直線OC的方程為y=-x
∵A（3，0），B（0，1），

AD

=λ

DB

，
∴D的坐標為（

3

1+λ

，

λ

1+λ

），
代入OC方程得

λ

1+λ

=-

3

1+λ

，得λ=-3

點評：本題給出點A、B、C的坐標，求向量

AB

+

OC

的坐標，并求滿足定比分點的λ值．著重考查了向量的坐標運算、三角函數(shù)的定義和向量線性運算等知識，屬于中檔題．