Question

（2008•上海模擬）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1    (a＞b＞0)
（1）已知橢圓的長軸是焦距的2倍，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），寫出橢圓C的方程；
（2）設(shè)K是（1）中所的橢圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求線段KO的中點(diǎn)B的軌跡方程；
（3）設(shè)點(diǎn)P是（1）中橢圓C 上的任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線L與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為k_PM，K_PN試探究k_PM•K_PN的值是否與點(diǎn)P及直線L有關(guān)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）2a=2（2c），c=1，a²=4b²=3，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)KO的中點(diǎn)為B（x，y），則點(diǎn)K（2x，2y），把K的坐標(biāo)代入橢圓

x2

4

+

y2

3

=1中，得

(2x)2

4

+

(2y)2

3

=1．由此能求出線段KF₁的中點(diǎn)B的軌跡方程．
（3）過原點(diǎn)的直線L與橢圓相交的兩點(diǎn)M，N關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，設(shè)M（x₀，y₀）N（-x₀，-y₀），p（x，y）．M，N，P在橢圓上，應(yīng)滿足橢圓方程，由此能夠證明k_PM•K_PN的值與點(diǎn)P的位置無關(guān)，同時(shí)與直線L無關(guān)．

解答：解：（1）2a=2（2c），（1分）
c=1，（2分）
a²=4b²=3，（3分）
橢圓C的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．（4分）
（2）設(shè)KO的中點(diǎn)為B（x，y）則點(diǎn)K（2x，2y），（6分）
把K的坐標(biāo)代入橢圓

x2

4

+

y2

3

=1中，
得

(2x)2

4

+

(2y)2

3

=1（8分）
線段KF₁的中點(diǎn)B的軌跡方程為x2+

y2

3 4

=1．（10分）
（3）過原點(diǎn)的直線L與橢圓相交的兩點(diǎn)M，N關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱
設(shè)M（x₀，y₀）N（-x₀，-y₀），p（x，y）（11分）
M，N，P在橢圓上，應(yīng)滿足橢圓方程，
得

x02

4

+

y02

3

=1    ，

x2

4

+

y2

3

=1，（12分）
kPM=

y-y0

x-x0

      KPN=

y+y0

x+x0

，（13分）
k_PM•K_PN=

y-y0

x-x0

 •

y+y0

x+x0

 =

y2-y02

x2-x02

=-

3

4

．（15分）
故：k_PM•K_PN的值與點(diǎn)P的位置無關(guān)，同時(shí)與直線L無關(guān)．（16分）

點(diǎn)評：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．