Question

設(shè)定義在區(qū)間[x₁，x₂]上的函數(shù)y=f（x）的圖象為C，M是C上的任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)向量
，當(dāng)實(shí)數(shù)λ滿足x=λx₁+（1-λ）x₂時(shí)，記向量
。定義“函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[x₁，x₂]上可在標(biāo)準(zhǔn)k下線性近似”是指“≤k恒成立”，其中k是一個(gè)確定的正數(shù)，
（Ⅰ）設(shè)函數(shù)f（x）=x²在區(qū)間[0，1]上可在標(biāo)準(zhǔn)k下線性近似，求k的取值范圍；
（Ⅱ）求證：函數(shù)g（x）=lnx在區(qū)間（m∈R）上可在標(biāo)準(zhǔn)下線性近似。（參考數(shù)據(jù)：e=2.718，ln（e-1）=0.541）

Answer 1

解：（Ⅰ）由得到，
所以B，N，A三點(diǎn)共線，
又由x=λx₁+（1-λ）x₂與向量，得N與M的橫坐標(biāo)相同，
對(duì)于[0，1]上的函數(shù)，y=x²，A（0，0），B（1，1），
則有=，故，
所以k的取值范圍是；
（Ⅱ）對(duì)于上的函數(shù)y=lnx，，
則直線AB的方程，
令h（x）=lnx-m-，其中x∈（m∈R），
于是h′（x）=，
列表如下：

則=h（x），且在處取得最大值，
又，
從而命題成立。